Relación del Capítulo 1 del texto: “Nuevas tecnologías y enseñanza de las matemáticas” de García, A. Martínez, A. y Miñano, R. con el articulo “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y expectativas” de Nicolás Balacheff

El artículo “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y expectativas” de Nicolás Balacheff tiene relación con el capítulo 1 del texto “Nuevas tecnologías y enseñanza de las matemáticas” de García, A. Martínez, A. y Miñano, R.

Ambos concuerdan en que las nuevas tecnologías aportan herramientas que facilitan la resolución y comprensión de muchos problemas, además de lograr llamar la atención de los estudiantes hacia las matemáticas. Pero el profesor de matemáticas no puede valerse exclusivamente de esas herramientas para lograr el aprendizaje de las mismas ya que puede desviarse del objetivo que quiere lograr con ello el cual es el aprendizaje de los objetos matemáticos como tal y no el uso de estas herramientas.Además, coinciden en el hecho de que estas herramientas no son del todo precisas por lo que si los estudiantes dependen de ellas para resolver los problemas no van a saber identificar los errores que les arrojen. 

Tres aspectos relevantes que un profesor de Matemáticas debe conocer

• ·  Un profesor de matemáticas debe conocer las diferentes herramientas tecnológicas que tiene a su disposición para escoger las más adecuadas para facilitar el aprendizaje por parte del estudiante y que logren captar su atención, siempre evitando que la clase de matemáticas se convierta en una clase de informática.
• ·         Un profesor de matemáticas debe conocer tanto las posibles ventajas que y desventajas que tienen las herramientas para poder hacer uso correcto de las mismas y lograr el objetivo que se quiere.
• ·         Un profesor de matemáticas debe saber escoger el momento adecuado para utilizar las herramientas ya que no debe utilizarlas todo el tiempo. Además, debe conocer los posibles errores que ellas pueden arrojar para enseñar a los alumnos a identificarlas.

Resumen del capitulo 1 del texto: Nuevas tecnologías y enseñanza de las matemáticas de García, A. Martínez, A. y Miñano, R. (2000). Educación matemática en secundaria. Síntesis. España.

     

 

     La matemática es una disciplina básica en cualquier desarrollo técnico, lo cual hace que reciba una mayor influencia desde la tecnología. Por esto separar la enseñanza de las nuevas tecnologías es una tarea difícil para la mayoría de los profesores de matemáticas.

       Usualmente los alumnos solo aprenden “sacar cuentas” y no saben cuáles son los conceptos matemáticos que hay en el fondo de esas cuentas, por lo que se debe lograr a través de la enseñanza de las matemáticas un entrenamiento de la intuición de los alumnos para que descubran por si solos las propiedades y características de los objetos matemáticos que está estudiando.

       Entre las “nuevas tecnologías” utilizadas en la enseñanza de las matemáticas están los sistemas de “Enseñanza Asistida por Ordenador” (EAO), no han tenido mucho éxito en la enseñanza ya que son muy rígidos en sus funciones ya que por lo general siempre presentan los mismos problemas y a veces no reconocen distintas representaciones de determinados objetos matemáticos. Por esto para el trabajo en clases se está implementando  el uso de “Asistentes matemáticos” los cuales ayudan a resolver problemas matemáticos como las calculadoras gráficas y otros software matemáticos.

       Estos Asistentes Matemáticos tienen sus pros y contras; por un lado ayudan la comprensión de determinados temas, reducen el tiempo en la realización de cálculos, favorecen el trabajo en equipo, ayudan a motivar a los estudiantes sobre temas matemáticos, entre otras. Pero por otro lado su uso puede ocasionar que el alumno se interese más por la utilización de la herramienta que por lo que tiene que hacer con ella, también puede hacer que pierda destrezas básicas para la resolución de problemas y que genere confianza ciega en la maquina perdiendo así el sentido crítico.  

       Si bien las herramientas informáticas son necesarias, se debe hacer uso correcto de las mismas en el proceso enseñanza-aprendizaje, por lo que el docente debe escoger bien cuál o cuáles herramientas van a utilizar y en qué momentos va a hacerlo para no desviar el propósito de las mismas. Además, el profesor no debe alejarse totalmente de la enseñanza tradicional ya que de hacerlo solo estaría enseñando a “usar las herramientas informáticas” o a “sacar cuentas” el cual no es el objetivo de la enseñanza de las matemáticas que es desarrollar el conocimiento, análisis y manejo de los objetos matemáticos para la resolución de problemas.

Un Problema Matemático sin Resolver

Conjetura de los números primos gemelos o amistosos

       Dos números primos se denominan “gemelos” si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de parejas de primos gemelos son 11 y 13 ó 41 y 43.

Esta conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos y todavía no se ha demostrado.

          <<Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo. >>

       La conjetura de los primos gemelos ha sido investigada por muchos teóricos de números, de los cuales la mayoría cree que es cierta, y se sustentan a partir de evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los números primos.

       Luego en 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

       Todas las parejas conocidas de números gemelos son ambos números impares, aún no se conoce ninguna pareja con un número par y uno impar, y tampoco se sabe si es posible o no. Además, todas las parejas conocidas tienen al menos un factor primo en común pero no se sabe si esta es una condición necesaria. Tampoco se sabe si existen parejas de números gemelos que sean coprimos entre sí.

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_los_n%C3%BAmeros_primos_gemelos

https://ecodiario.eleconomista.es/ciencia/noticias/9148137/05/18/Los-diez-problemas-matematicos-que-aun-no-tienen-solucion.html

Resolución de Problemas

       A medida que se ha ido desarrollando la ciencia han surgido varios significados referidos a la "Resolución de Problemas". Este tema ha sido investigado por diversos autores a lo largo del desarrollo del estudio del proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

       La mayoría de los autores coinciden en que la resolución de problemas es una de las actividades más importantes dentro de la educación cuyo significado es inseparable del significado de la palabra problema por sí sola. Podemos decir que un problema es una cuestión que se presenta y a la que se le debe hallar una solución que a simple vista no es conocida, por lo que la “Resolución de Problemas" seria el mecanismo mediante el cual buscamos y logramos el hallazgo de esa solución desconocida.

       La Resolución de Problemas es una actividad muy importante para el desarrollo de la ciencia, así como para el ser humano ya que a través de ella se entrena la mente para poder darle solución a las diversas situaciones que se presenten tanto académicamente como en la vida cotidiana. Resolver problemas es algo mucho más complejo que el simple hecho de "sacar cuentas", consiste en hacer ejercicios mentales para identificar correctamente las partes de la situación en cuestión y llevar a cabo un plan para encontrar la solución de la misma.

Definición de "Problema"

     La palabra “problema” proviene del latín problēma, y este del griego πρόβλημα próblēma.

          Según la Real Academia Española se define como:

<<1. m. Cuestión que se trata de aclarar. 2. m. Proposición o dificultad de solución dudosa. 3. m. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin. 4. m. Disgusto, preocupación. 5. m. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos. >>

          Según el griego Aristóteles:

<<Problema es un procedimiento dialéctico que tiende a la elección o al rechazo o también a la verdad y al conocimiento. >>

           Según el filósofo Kant:

<<Problemas son proposiciones demostrativas que necesitan pruebas o son tales como para expresar una acción cuyo modo de realización no es inmediatamente cierto. >>

           Existen varias definiciones para el término “problema” pero podemos ver que la mayoría coincide en señalar que es una situación para las cual se necesita buscar una solución desconocida en medio de algunas dificultades. En matemática, se dice que un problema “es una pregunta que necesita una solución”, esto puede confundirse con sacar una cuenta, lo cual no necesariamente es así ya que los problemas tambien pueden implicar actividades más intelectuales y complejas que solo "sacar cuentas".


https://dle.rae.es/?id=UELp1NP http://biblioteca.itson.mx/oa/educacion/oa8/problema_investigacion/x6.htm 
https://www.mathsisfun.com/definitions/problem.html

Linea de tiempo sobre el articulo: Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: Complejidad didáctica y expectativas, de Nicolás Balacheff

Resolución de Problemas: ¿Por qué?, ¿Para qué?

¿Es importante la resolución de problemas?, ¿Por qué es tan importante?, ¿De qué sirve saber resolver problemas? Estas y otras incógnitas referentes al tema tienen respuesta en el texto de G. Polya titulado Cómo plantear y resolver problemas.

La capacidad del hombre para identificar y analizar las situaciones problemas presentes en su día a día es lo que le ha permitido evolucionar y diferenciarse del resto de los seres vivos. Dentro de la enseñanza de las matemáticas esta es considerada una de las actividades más importantes ya que es una de las conductas más inteligente y prácticas que poseen los humanos para poder desenvolverse en la vida.

La resolución de problemas lleva consigo el cumplimiento de 4 fases, las cuales son: comprensión del problema, concepción de un plan, ejecución del plan y visión retrospectiva o revisión del problema.
¿Por qué es importante resolver problema? En la enseñanza moderna de las matemáticas la resolución de problemas tiene un papel principal ya que a través de ella se busca lograr que el estudiante desarrolle habilidades intelectuales a través de la imitación y la práctica; además que pueda identificar los datos, la incógnita y las condiciones de un problema que se le presente. Lo cual en la enseñanza tradicional no se hacia, ya que ella se basaba en la memorización de conceptos abstractos a los cuales el estudiante no les veia utilidad practica. 
¿Para qué sirve? A través de la resolución de problemas, el estudiante logra aplicar los conceptos abstractos de la matemática en algo concreto, que en este caso seria el problema a resolver. Esta habilidad adquirida puede ser utilizada para resolver los problemas de la vida cotidiana además de los problemas matemáticos. 

Esta actividad debe ser guiada por el docente mostrando ejemplos que sirvan como base para la resolución de otros, para que luego a través de preguntas hacia el estudiante logre utilizar los ejemplos anteriores en problemas nuevos que tengan un nivel más alto. No es suficiente con solo el explicar cómo se resuelve cada problema, también es necesario hacer que el alumno desarrolle su manera de pensar para que pueda resolver los problemas por sí solo ya que no siempre van a ser iguales, por lo que se necesita que el mismo tenga la capacidad para modificar los datos o algún planteamiento del problema de ser necesario sin cambiar su sentido. A través de la resolución de problemas se desarrollan las ideas de las personas, así como su producción de ideas correctas, y hasta la memoria.

Comparación de la reseña del prof. Teruel con los aspectos más importantes del texto de Balacheff considerados por mi

   

 El profesor Alejandro Teruel en su reseña sobre el artículo de Balacheff coincide con los 3 aspectos importantes que extraje del mismo:

 1. Las herramientas informáticas son útiles para facilitar el aprendizaje y la enseñanza pero no se debe crear una dependencia de ellas.
  2.Las herramientas informáticas no son 100% precisas ya que no manejan el mismo significado para cada objeto matemático por lo que muchas veces pueden arrojarnos representaciones erróneas.
  3. Para hacer uso correcto de estas herramientas se debe conocer las diferentes representaciones de cada objeto matemático que quiero manipular con ellas, para así detectar los errores que nos pueden arrojar.

Teruel las engloba en una idea diciendo que:

<<Ciertas herramientas pedagógicas matemáticas como los micro-mundos geómetras de Cabri-géometre, Geometer Sketchpad o LOGO pueden aprovecharse para proporcionarle una dimensión más experimental a la didáctica de las matemáticas, pero a la vez cómo debe cuidarse el docente de entender las bases y sesgos que fundamentan tales herramientas, así como los malentendidos que pueden generar en el alumno.>>

Es importante que tanto el docente como el aprendiz conozcan en realidad qué es lo que están manipulando a través de las herramientas informáticas, ya que si desconocen el objeto que están manejando no van a poder demostrar lo que hicieron con ellas. Los estudiantes deben conocer el fondo, el significado y el concepto de lo que se está visualizando a través de estas herramientas, para poder detectar los errores que ellas suelen cometer y no creer ciegamente en una mentira.

El Prof Teruel reseña el libro completo donde aparece el artículo de Balacheff, por lo que seguramente solo toca ese aspecto del mismo, si hubiese estudiado cada artículo por separado quizás tendría más que decir del mismo

Tres aspectos importantes sobre el texto de Balacheff: “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: Complejidad didáctica y expectativas"

• Las herramientas informáticas son útiles para facilitar el aprendizaje y la enseñanza pero no se debe crear una dependencia de ellas.

     La tecnología avanza mucho más rápido que la matemática, así que se pueden utilizar herramientas como los DGEs para realizar construcciones geométricas, pero no debe restringirse solo  a ellas, ya que los estudiantes pueden alejarse del verdadero concepto que se les está enseñando. Si bien ellas facilitan la realización de construcciones que pueden ser muy complicadas a lápiz y papel, el aprendiz debe poder realizarlas de esta manera también, para fijar el verdadero objeto que se quiere que aprenda.

• Las herramientas informáticas no son 100% precisas ya que no manejan el mismo significado para cada objeto matemático por lo que muchas veces pueden arrojarnos representaciones erróneas.

     En el texto nos dan el ejemplo de los softwares de geometría como LOGO y DGEs , los cuales manejan dos conceptos de circunferencia totalmente distintos, tales como “una curva de curvatura constante” y “un conjunto de puntos a una distancia constante de un punto dado” respectivamente; por lo que a la hora de realizar ciertas construcciones como la de “dibujar tres circunferencias tangentes entre sí”, un sistema lo hace más complicado que el otro, y en ocasiones nos arrojan resultados incorrectos, deformando así la concepción del objeto matemático por parte del estudiante.

• Para hacer uso correcto de estas herramientas se debe conocer las diferentes representaciones de cada objeto matemático que quiero manipular con ellas, para así detectar los errores que nos pueden arrojar.

     Es importante que tanto el docente como el aprendiz conozcan en realidad qué es lo que están manipulando a través de las herramientas informáticas, ya que si desconocen el objeto que están manejando, por ejemplo en el caso de la geometría, van a saber realizar la construcción pero no van a poder demostrar por qué es así. “Ver no es saber”, por lo que los estudiantes deben conocer el fondo, el significado y el concepto de lo que se está visualizando a través de estas herramientas, para poder detectar los errores que ellas suelen cometer y no creer ciegamente en una mentira.

Resumen del texto: Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: Complejidad didáctica y expectativas, de Nicolás Balacheff

       No podemos hablar de nuevas tecnologías en el ámbito del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, debido a que la que va avanzando cada vez más rápido es la tecnología. Por esto es importante que los profesores integren ambos conocimientos desde el punto de vista de la modelización.

       Softwares como las hojas de cálculo, los sistemas de algebra computacional (CAS) y los micromundos han influido en el aprendizaje de las matemáticas, principalmente los micromundos ya que son diseñados con propósitos meramente educativos, a diferencia de los dos primeros que son utilizados por los docentes como herramientas de enseñanza-aprendizaje pero su creación no fue con esta finalidad.

       Los micromundos dedicados a la geometría como LOGO, Cabri-géomètre, el Geometer Sketchpad y los demás DGEs, facilitan la elaboración de distintos tipos de construcciones geométricas que son difíciles de hacer con precisión utilizando solo papel y lápiz. Pero a pesar de estas ventajas, muchas veces como se suele dejar de lado el uso del lápiz y el papel para enseñar las diferentes construcciones geométricas, el aprendiz o alumno solo aprende a hacerlas utilizando estas herramientas tecnológicas, y por lo general no aprende el concepto de lo que se trata dicha construcción porque no es capaz de representarla en de otra manera. Las herramientas informáticas son muy útiles para facilitar el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas pero no por ello se debe depender de ellas.

       A veces suele ser complicado elegir representación del objeto matemático que se quiere representar a través de la ciencia computacional, ya que muchas veces esto puede determinar el tipo de manipulación sobre el sistema a utilizar. Por ejemplo, cuando se utiliza una estructura de sistema de árbol para representar determinadas ecuaciones algebraicas como 5X+2X(X-3), en sistemas como APLUSIX se puede manipular este tipo de representación, pero en otros la manipulación de la misma no es posible; en el sistema PIXIE se maneja la representación en forma de lista, y allí es posible manipular la expresión pero arrojando ciertos errores como pasar de 5X+2X(X-3) a 5X+7X-3 lo cual es erróneo.

       No se deben evitar por completo estos efectos secundarios que arrojan estas herramientas, si no de tratar de ser capaz de descubrir en qué consisten los mismos.

       En los softwares de geometría como LOGO y DGEs se manejan dos conceptos de circunferencia totalmente distintos, por lo que a la hora de realizar ciertas construcciones como la de “dibujar tres circunferencias tangentes entre sí” puede ser complicado en determinados sistemas. Las herramientas informáticas no son 100% confiables ya que no manejan el mismo significado entre los objetos matemáticos, y si no se maneja el concepto, tanto el profesor como el estudiante no podrán ver el error, y los estudiantes creerían ciegamente en algo que puede estar equivocado.

       Se conoce como “trasposición computacional al trabajo necesario para cumplir los requisitos de la representación simbólica y de la computacional”. Por tanto como no hay una solución concreta para evitar que ocurran desviaciones entre las representaciones y lo que se quiere representar, se deben cambiar las cuestiones relacionadas con la fidelidad por aspectos relacionados con la delimitación del dominio de validez epistemológica. Es decir, el aprendiz y el docente deben conocer los objetos matemáticos y sus diferentes representaciones para poder utilizar correctamente las herramientas tecnológicas.

       Los entornos informáticos pueden facilitar nuevas concepciones sobre objetos matemáticos en los alumnos, de modo que el profesor se topa con nuevos problemas de comprensión y producción de los estudiantes, por lo que para entender las producciones de los software se debe tener una visión sobre los procesos subyacentes (objetos matemáticos) y las estructuras de conocimiento del mismo (representaciones de dichos objetos).

       A través de estas herramientas como las DGEs no se puede apreciar la geometría de una situación con el simple hecho de mirar el dibujo hecho en la pantalla. “ver no es saber” por lo que existe una visión distinta de la relación entre matemáticas y visualización. Por esto, a veces los estudiantes saben realizar la construcción geométrica pero no logran demostrar lo que sucede allí en el fondo. Además de que en geometría no existe un único método para hacer una construcción geométrica, por ejemplo hay muchas maneras de construir triángulos rectángulos.

       Las características del entorno son cruciales en la construcción del significado de algo, por tanto hay que explorarlas desde las conceptualizaciones que estimulan así como explorar los posibles procesos cognitivos del aprendizaje del estudiante. Entonces los profesores deben conocer estas herramientas y manejarlas de manera tal que las introduzcan en el proceso de enseñanza-aprendizaje pero que no se pierda el fondo de los conceptos que se quieren enseñar.

Balacheff, N. (2000). Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y expectativas. En N. Gorgorio, J. Deulofeu, A. Bishop (coords.), Matemáticas y educación (pp. 93-108). Edit. Graó. Barcelona (España)

Disponible en:

https://drive.google.com/open?id=0B0QLn3mEGuFCa0x2M1E5M05rRVVUNmVENW9teU1DbkxfZ0hz

Nicolás Balacheff

           Especialista en matemáticas puras y teórico en ciencias de la computación. En 1978 defendió una tesis de postgrado en Ciencias de la Computación, y una en Didáctica de las Matemáticas, en 1988 diez años después. Desde allí se ha dedicado a la investigación en las áreas de las matemáticas y la informática.

     Actualmente es director de investigación en el Centre National de Recherche Scientifique (CNRS), y miembro del Equipo de Modelos y Tecnologías para el Aprendizaje Humano (EIAH) del Laboratorio de Ciencias de la Computación de Grenoble (LIG).

       Si bien no se encuentra disponible en la web más información detallada sobre la biografía de Nicolás Balacheff, podemos ver que se ha encargado principalmente al estudio de las matemáticas ligadas con la informática en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las personas.

Referencias:

https://www.canal-u.tv/auteurs/balacheff_nicolas